КОС ТЕОРИЯ

- раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей - объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р ₀ и Р ₁ в трехмерном пространстве R³, содержащих упорядоченные множества точек и из га простых дуг l₁, ..., l _п, пересекающих каждую параллельную плоскость P_t между Р ₀ и Р ₁, однократно и соединяющих точки { а _i} с точками

Считается, что а,- лежат на прямой L_a в Р _й, точки b_i- на прямой L_b в Р ₁, параллельной L_a, причем ft,- расположены под а _i для каждого г (см. рис. 1). Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

Нить l_i косы w соединяет и определяет подстановку Если эта подстановка тождественна, то w наз. крашеной (или чистой) косой. Транспозиции (i i+1) отвечает простейшая коса s_i (см.рис. 2).

Во множестве всех кос с пнитями и с фиксированными P₀. P₁, {a_i}, (b_i} вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами где П - область между Р ₀ и P₁, тождественными на к-рые можно считать такими, что h(P_t)=P_t. Косы а и Р эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм hи

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос В(п).относительно операции, определяемой следующим образом. Экземпляр П' области П помещается над другим экземпляром П" так, чтобы совпала с а затем сжимается вдвое. Образы кос дают косу нить l_i к-рой получается продолжением l_i с помощью Единичная коса - класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков, коса w^-1, обратная косе w, определяется отражением в плоскости Р _1/2. Условие - на рис. 3. Отображение определяет эпиморфизм В(п).на группу S(п).перестановок пэлементов, ядром к-рого является подгруппа К(п), соответствующая всем чистым косам, так что имеется точная последовательность

Группа кос В(п).имеет две основные интерпретации. Первая - пространство конфигурации - получается отождествлением плоскостей Р _t с помощью вертикальной проекции на Р ₀, при к-рой образы точек при изменении tот 0 до 1 образуют след изотопии множества по причем Косе однозначно соответствует класс гомотопных петель в пространстве неупорядоченных наборов G(n).из ппопарно различных точек плоскости, и имеет место изоморфизм

Для крашеных кос аналогично строится изоморфизм

где F(п) - пространство упорядоченных наборов из га различных точек плоскости, так что К(п).можно отождествить с подгруппой, отвечающей накрытию

Вторая - группа гомеотопий - получается продолжениями изотонии до изотопии плоскости Р ₀ тождественной вне нек-рого диска, причем При каждом tдва такие продолжения отличаются на гомеоморфизм, тождественный в точках а _it. Косе однозначно соответствует компонента пространства гомеоморфизмов Y(п).плоскости, отображающих множество на себя, и имеет место изоморфизм

Каждому гомеоморфизму сопоставляется автоморфизм свободной группы ранга , определенный с точностью до внутреннего, к-рый в свою очередь дает гомоморфизм Элементы образа наз. Носовыми автоморфизмами свободной группы. В частности, косе s_i отвечает автоморфизм

если - базис F_n). Любой носовой автоморфизм а обладает свойствами:

с точностью до внутреннего (смысл А _i - ниже), эти свойства характеризуют косовые автоморфизмы. Косы являются образующими группы В (п), т. е. причем

Оказывается, что (1) - копредставление для В(п).(см. рис. 4). Имеет место расщепляющая точная последова-

тельность (получающаяся из локально тривиального расслоения со слоем

к-рая приводит к нормальному ряду

со свободными факторами причем А _i имеет "дополнение" U_n-i, изоморфное К( п-i-1). Каждый элемент может быть представлен единственным образом в виде где p_w - выбранный представитель для в В(п), а Приведение косы к такой форме наз. ее причесыванием. Это решает проблему тождества в В(п).

Копредставление для К(п).таково: образующие (см. рис. 5)

соотношения

Оно может быть получено как копредставление ядра естественного гомоморфизма в S(п).абстрактной группы В (n), заданной копредставлением (1) с помощью Шрей ера системы

Центр группы B(п) - бесконечная циклич. группа, порожденная элементом Коммутант В' (п).совпадает с В" (п).при В'(3) изоморфна свободной группе ранга 2, а В'(4) -полупрямому произведению двух таких групп. Фактор по коммутанту - бесконечная циклич. группа, порожденная образами s_i. Элементы конечного порядка в В(га) отсутствуют. Группа К(п).переходит в себя при эндоморфизмах с неабелевым образом. В частности, - вполне характе-ристич. подгруппа в В(n). а также и в К(п).(см. [15]).

Проблема сопряженности в В(n) решается существенно сложнее проблемы тождества. Имеется единственная нормальная по Гарсайду форма косы где - так наз. элемент Гарсайда, W - положительная, т. е. имеющая запись через s_i с положительными показателями, коса. Косе w конечным числом операций, определяемых по i(сопряжение с нек-рыми элементами, выбор элементов максимальной степени и т. п.), сопоставляется нек-рое множество слов из к-рого выбирается слово в нормальной форме с минимальным Т. Это - так наз. верхняя форма косы w. Оказывается, что две косы сопряжены тогда и только тогда, когда их верхние формы совпадают (см. [7]). Представление Бурау группы кос В(п).в группу матриц над кольцом целочисленных многочленов одной переменной определяется соответствием:

где I_k - единичная матрица порядка k. Матрица есть приведенная матрица Александера (см. Александера инварианты).зацепления, полученного замыканием косы w (см. ниже). Для крашеной косы из аналогичной матрицы Гаснера получается полная матрица Александера. Проблема точности этих представлений не решена (1982) (см. [2]).

То, что пространства F(п).и G(n).асферичны, дает возможность вычислить гомологии групп кос.

Гомологии К(п).(см. [16]): гомологически К(п).совпадает с произведением букетов окружностей, в к-рых число окружностей увеличивается от одной до n-1. Кольцо когомологий изоморфно внешнему градуированному кольцу, порожденному одномерными элементами с соотношениями В качестве w_rl можно взять формы

отвечающие обходу диагоналей Гомологии В(п).(см. [8], [12]): гомоморфизм может быть продолжен вложением ; индуцированный гомоморфизм в когомологиях эпиморфен, т. е. когомологии mod 2 группы В(п).порождаются классами Штифеля- Уитни.

Имеется естественное отображение G(n) в - пространство сфероидов (вокруг и точек берутся малые диски, к-рые канонически со степенью I отображаются в сферу, а все дополнение - в точку). Это отображение (см. [14]) устанавливает гомологич. эквивалентность предельного пространства (индекс означает, что берется компонента сфероидов степени 0). Относительно нестабильных групп гомологии В(п).доказано [16], что они конечны, стабилизируются с ростом и и имеется правило повторения Дано [17] описание вычисления этих групп.

Приложения и обобщения. 1) Замкнутой косой наз. зацепление (n-компонентный узел).в R³, каждая компонента к-рого трансверсально пересекает полуплоскости, ограниченные одной и той же прямой - осью Iзамкнутой косы (см. рис. 6). Коса порождает замкнутую косу (замыкание w) следующим образом. Цилиндр с основаниями на P₀ и P₁, содержащий внутри себя w, изгибается в R³ так, что образующие переходят в окружности с центрами на прямой l, а основания совмещаются и каждая точка а _i, совпадает с b_i. Тогда объединение нитей l_i перейдет в Обратно, каждое зацепление в R³ может быть представлено замкнутой косой. Эквивалентным косам отвечают изотопные зацепления и, более того, сопряженные косы дают изотопные зацепления. Обратное неверно, так как зацепление может быть представлено косами с разным числом нитей. Кроме того, косы не сопряжены в В(п), но отвечают изотопным зацеплениям. Если две замкнутые косы эквивалентны как зацепления, то они могут быть получены одна из другой цепочкой элементарных преобразований двух типов (см. рис. 7). Эти операции интерпретируются в терминах копредставлений группы зацеплений, что дает алгебраич. переформулировку проблемы изотопности зацеплений в виде вопроса о системе групп В(п). Копредставление группы зацепления имеет вид

где соотношения определены косовым автоморфизмом b^w. Обратно, каждое такое соотношение определяет косу.

2) Если разрезать поверхность рода gспомощью gнепересекающихся сечений так, что получится сфера с 2g дырами, то гомеоморфизмы этой сферы с дырами, оставляющие на месте точки на краях дыр, определяют гомеоморфизмы поверхности, неподвижные на сечениях, и сами определяются с точностью до изотонии элементами группы K(2g). Это дает представление группы кос в группе гомеотопий поверхности. Аналогично строится и представление В(2g). Эти представления используются при изучении диаграмм Хегора трехмерных многообразий.

3) Отождествлением R² с комплексной прямой С ¹ и сопоставлением неупорядоченному набору из " точек плоскости многочлена степени п, имеющего эти точки своими корнями, получается возможность отождествить

G(n).с пространством многочленов с ненулевым дискриминантом. Так, этот факт позволил получить ряд результатов о непредставимости алгебраич. функций суперпозицией функций от меньшего числа переменных (см. [16]).

4) Пространства конфигураций для любого пространства Xопределяются аналогично G(п).и F(п).с заменой R² на X. Фундаментальные группы этих пространств В(X).и К(X).наз. группами кос пространства Xи чистых кос соответственно. Для многообразия М ⁿ размерности больше , и эти группы интереса не представляют. Для двумерного многообразия имеется естественное вложение В(п).и К(п).в В _n( М ²).и К _п( М ²), индуцированное вложением Для М ², отличного от сферы и проективной плоскости, получается точная последовательность

для сферы гомоморфизм еявляется эпиморфизмом, полученным добавлением к (1) еще одного соотношения

5) Если есть fc-листное накрытие, то где а - петля в Y, является петлей в пространстве конфигураций X, чем определяется гомоморфизм к-рый усиливает монодромию накрытия и находит применение в алгебраич. геометрии.

6) Пусть - комплексификация действительного векторного пространства V,a W - конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, действующая в V (и, следовательно, в ). Пусть s_i - порождающие отражения в плоскостях и D - их объединение.

Пусть, наконец, - факторпространство. Группы наз. группами Брискорна, они естественно обобщают К(п).и В(п). Если , то имеет копредставление вида где число сомножителей с каждой стороны равно т/у (а/ здесь соответствует камере Вейля). Для этих групп доказано, что X_W и Y_W являются пространствами типа К ( п,1), решена проблема сопряженности. В алгебраич. геометрии пространства Х^г появляются как дополнения к дискриминанту версальных деформаций рациональных особенностей (см. [12],[13]).

Лит.:[1 ] А r t f п Е., "Ann. Math.", 1947, V. 48, p. 101-26, 643-49; [2] Birman J., "Ann. Math. St.", 1974, №82; [3] Burau W., "Hamburg- Abh.", 1932, Bd 9, S. 117-24; [4] Марков А. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1945, т. 16; [5] Gassner В., "Hamburg Abh.", 1961, Bd 25, S. 10-22; [6] F a d e 1 1 E., N e u w i r t h L., "Math. Scand.", 1962, v. 10, p. 111 - 18; 17] Г а р с а и д Ф., "Математика", 1970, т. 14, № 4, с. 116-32; [8] Ф у к с Д. Б., "Функциональный анализ и его приложения", 1970, т. 4, №2, с. 62-73; [9] Арнольд В. И., там же, № 1, с. 84-85; [10] Г о р и н Е. А.. Л и н В. Я., "Матем. сб.", 1969, т. 78, с. 579-610; [11] А р н о л ь д В. И., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1970, т. 21, с. 27-46; [12] Брискорн Э., "Математика", 1974, т. 18, №3, с. 46-59; ИЗ] Брискорн Э., Сайто К., там же, М 6, с. 56-79; S14] D е 1 i g п е P., "Invent. Math.", 1972, v. 17, № 4, p. 273-302; [15] Л и н В. Я., "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 1, с. 173-74; [16] Арнольд В. И., "Матем. заметки", 1969, т. 5, № 2, с. 227-31; [17] Л и н В. Я., в кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 17, М., 1979, с. 159-227. А. В. Чернавский.